Mecánica Celeste: el problema de dos cuerpos y las órbitas celestes
Carlos Daniel González
Siguiendo con la temática de hallar la relación existente entre la Física, la Mecánica Clásica y la Astronomía, en esta ocasión vamos a analizar uno de los problemas de la mecánica clásica más conocidos y mejor estudiados, el llamado problema de dos cuerpos.
Este es uno de los problemas más elegantes de la física clásica y resulta de especial interés por ser uno de los pocos que tiene solución analítica completa, en el presente artículo lo vamos a plantear y resolver de forma completa y lo vamos a relacionar con las órbitas de los astros en el firmamento.
A modo de presentar el problema podemos decir que este se trata de estudiar el movimiento de un sistema compuesto por dos cuerpos cuya única interacción permitida es la que entre ellos se ejercen mutuamente, como por ejemplo dos estrellas, la Tierra y la Luna, la Tierra y el Sol y cualquier otro par de cuerpos que podamos imaginar que estén lo suficientemente alejados como para considerarlos partículas, cada uno de estos cuerpos tendrán una energía cinética debido a su movimiento y una energía potencial de interacción, esta energía potencial de interacción en nuestro caso podemos decir que es la energía gravitatoria, así pues si la distancia entre los cuerpos es "r", las masas de los mismos es m1 y m2, y G la constante gravitatoria explicada en el artículo anterior sobre esta temática, dicha energía de interacción estará dada por:
Para poder analizar este problema vamos a utilizar el formalismo de Lagrange de la mecánica clásica, en el mismo es necesario primeramente formar la función de Lagrange, la cual puede escribirse como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial el sistema, así pues para este sistema que vamos a analizar y esta función estará dada por:
donde r es el vector que tiene su origen y extremo en cada una de las partículas que componen al sistema, esta misma expresión en función a la llamada masa reducida (m) del sistema puede expresarse como sigue:
lo cual da pie a interpretar al sistema estudiado como a uno de una sola partícula ubicada a una distancia r del origen de fuerzas, esta interpretación es llamada muchas veces "reducción al sistema equivalente de un cuerpo" (Goldstein, 1987).
Al inspeccionar la función de Lagrange podemos notar que las variables angulares no están presentes, se dice entonces que estas son cíclicas o ignorables, de acuerdo con la literatura especializada cuando una variable de posición (lineal o angular) no está presente en el Lagrangiano de un sistema, el momento asociado a la misma permanece constante; como en este caso no hay ninguna variable angular presente, el momento angular del sistema permanece constante y esto implica que el movimiento del sistema necesariamente debe darse en un plano, este resultado realmente interesante, si extrapolamos eso al movimiento planetario y tomamos al Sol y a cada uno de los planetas como un cuerpo del sistema, cada par debe moverse en un plano.
En este momento es conveniente expresar la función de Lagrange en coordenadas polares planas, de esta manera la misma queda expresada como sigue:
donde el significado geométrico de las coordenadas pueden verse en la siguiente figura
Figura 1: coordenadas polares planas. Elaboración propia con GeoGebra
Para poder seguir el análisis hay que utilizar algunas herramientas matemáticas pues el método lagrangiano lo exige, sin embargo, si el lector así lo prefiere podría saltarse algunas líneas e ir a las conclusiones del uso de las mismas.
Así pues al aplicar las ecuaciones de Lagrange para la coordenada angular tenemos que
de esto podemos ver que
es decir que
lo cual a luz de la siguiente figura
se puede notar que es la velocidad con la cual el radio vector recorre áreas en el plano de la órbita, la cual se denomina velocidad aerolar y como podemos ver es constante, es decir, el radio vector recorre áreas iguales en tiempos iguales, afirmación que corresponde a la segunda ley de Kepler.
Si tomamos además esta velocidad aerolar y la integramos para un tiempo, T, equivalente a un periodo, es decir el tiempo que le toma al cuerpo recorrer una vez la órbita elíptica completa, se puede demostrar como lo hace Landau (1970) que este está relacionado con semi-eje mayor a de la elipse mediante la siguiente expresión:
la cual constituye la Tercera Ley de Kepler, de esta manera podemos ver que las tres leyes observacionales de Kepler están contenidas y pueden ser deducidas del tratamiento mecánico del problema de los dos cuerpos, vemos pues de esta manera una poderosa y evidente relación entre la física y la astronomía, o más específicamente entre la mecánica clásica y la astronomía.
Por otro lado, al aplicar las ecuaciones de Lagrange en la coordenada r, es posible llegar a la ecuación diferencial de la órbita, la cual con el cambio de variable
queda expresada de la siguiente manera
la cual al ser resuelta, ya sea utilizando las técnicas propias de las ecuaciones diferenciales o por integración directa, queda de la siguiente manera
la cual como se puede ver es la ecuación de una cónica con excentricidad e, es decir, la órbita puede ser abierta (hipérbola o parábola) o cerrada (elipse o circunferencia) en dependencia del valor que tome la excentricidad e. De ésta manera la diferentes órbitas posibles están mostradas en la siguiente figura
Figura 3: Secciones cónicas. 1: parábola, 2: elípse y circunferencia, 3: hipérbola. Imagen descargada de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conic_sections_with_plane.svg
Desde el punto de vista de la física, esta excentricidad tendrá su valor determinado por la energía del sistema, así si el mismo tiene una energía positiva la órbita será una hipérbola, si tiene energía nula será una parábola.
Por otro lado si su energía es negativa pero superior a cierto valor mínimo será una elipse y si es igual a éste valor mínimo será una circunferencia.
Esta es la razón que determina las órbitas de los planetas alrededor del Sol y también explican porque no todas son iguales, porque hay cometas que solo podremos verlos una vez (pues tienen órbitas abiertas) y otros cuyos ciclos son muy largos (elipses con excentricidades muy grandes).
De esta manera pudimos ver que aplicando las Leyes de la Mecánica Clásica al problema de los dos cuerpos, no solo podemos llegar las leyes de Kepler, sino que podemos ir más allá y predecir la órbita de los cuerpos celestes, evidenciándose de esta manera una poderosa y nítida relación entre la Física y la Astronomía, espero que este artículo haya sido de su agrado y que les sea de utilidad.
Nos leemos en próximos materiales.
REFERENCIAS
Goldstein, H. (1987). Mecánica Clásica. Reverté.
Landau, L. D., Lifshitz, E. M., Berestetski, V., & Pitaevskii, L. (1970). Física Teórica. Mecánica. Reverté.
www.geogebra.com
Este obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Comentarios
Publicar un comentario